Den Satz des Pythagoras kennt man primär aus Anwendungen mit rechtwinkeligen Dreiecken. Es gibt aber auch eine interessante Anwendung bei Parallelogrammen.
Zwischen der Diagonale d und den Seitenlängen a, b eines Rechtecks gilt wegen des Satzes des Pythagoras die folgende Beziehung : d = \sqrt{a^2 + b^2} bzw. d^2 = a^2 + b^2
Da Rechtecke spezielle Parallelogramme sind, stellt sich für Parallelogramme nun die Frage, ob es eine analoge Beziehung zwischen den Seitenlängen a, b und den Diagonalen d_1, d_2 gibt.
Zur Beantwortung dieser Frage ergänzen wir die obige Abbildung wie in der nebenstehenden Abbildung dargestellt.
Die Seite a wird um die Strecke x verlängert. Dadurch ensteht ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Katheten a + x und h und der Hypotenuse d_1. Mit dem Satz des Pythagoras erhält man für die Diagonale d_1: d_1^2 = \left( a + x \right)^2 + h^2.
Auch durch die Verkürzung der Seite a um die Strecke x lässt sich ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Katheten a - x und h und der Hypotenuse d_2 erzeugen (siehe nebenstehende Abbildung).
Für dieses rechtwinkelige Dreieck erhält man mit dem Satz des Pythagoras: d_2^2 = \left( a - x \right)^2 + h^2
Die obigen Gleichungen werden nun umgeformt und addiert:
\begin{array}{llcl} (1) & \left( a + x \right)^2 + h^2 &=& d_1^2 \\ (2) & \left( a - x \right)^2 + h^2 &=& d_2^2 \\ \hline \\ (1) & a^2 + 2 \cdot a \cdot x + x^2 + h^2 &=& d_1^2 \\ (2) & a^2 - 2 \cdot a \cdot x + x^2 + h^2 &=& d_2^2 \\ \hline \\ (1) + (2) & 2a^2 +2 \cdot \left( x^2 + h^2 \right) &=& d_1^2 + d_2^2\end{array} \\Die Strecken x und h sind Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks mit der Hypotenuse b. Wegen des Satzes des Pythagoras gilt: x^2 + h^2 = b^2.
Gleichung (1) + (2) kann damit wie folgt angeschrieben werden:
\begin{array}{lcl} 2a^2 +2 \cdot \left( x^2 + h^2 \right) &=& d_1^2 + d_2^2 \\ 2a^2 +2 \cdot b^2 &=& d_1^2 + d_2^2 \\ \mathbf{2 \cdot \left( a^2 + b^2 \right)} &\mathbf{=}& \mathbf{d_1^2 + d_2^2} \end{array}\\
Zwischen den Seiten a und b eines Parallelogramms und den Diagonalen d_1 und d_2 gilt also der folgende Zusammenhang:
\boxed{\mathbf{2 \cdot \left( a^2 + b^2 \right) = d_1^2 + d_2^2 }}Interpretation
Die obige Formel kann noch etwas umgeformt werden: a^2 + b^2 = \frac{1}{2}\cdot \left( d_1^2 + d_2^2 \right)
Dieses Ergebnis lässt sich wie folgt interpretieren: Die Summe der Quadrate der Seiten a und b ist das arithmetische Mittel der Summe der Quadrate der Diagonalen d_1 und d_2.
Rechteck als Spezialfall eines Parallelogramms
Die obige Formel gilt auch für Rechtecke. In einem Rechteck sind beide Diagonalen d_1 und d_2 gleich lang, d.h. es gilt: d_1^2 = d_2^2 = a^2 + b^2. Setzt man dieses Ergebnis in die obige Formel für Parallelogramme ein, ergibt sich eine wahre Aussage:
d_1^2 + d_2^2 = \left( a^2 + b^2 \right) + \left( a^2 + b^2 \right) = 2 \cdot \left( a^2 + b^2 \right)