Binomische Formen sind ein wichtiges Element in der Mathematik. sie werden in den verschiedensten Zusammenhängen benötigt. Binomische Formen gibt es in vielen Variation. In diesem Beitrag werden die wichtigesten Formen beschrieben und hergeleitet.
Die Form \left( a + b \right)^2
Durch Ausmultiplizieren erhält man für die erste binomische Form:
\boxed{\mathbf{\left( a+b \right)^2 = a^2 +2ab+ b^2}}Geometrische Veranschaulichung
Den Term \left( a+b \right)^2 kann man als Flächeninhalt A eines Quadrats mit den Seitenlängen a+b verstehen (siehe nebenstehende Abbildung).
Zur Berechnung dieses Flächeninhalts kann man die Fläche A in vier Teilflächen A_1, A_2, A_3 und A_4 aufteilen.
A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4
Für diese Teilflächen gilt:
A_1 = a^2 \newline A_2 = a \cdot b \newline A_3 = b \cdot a \newline A_4 = b^2 \newlineInsgesamt ergibt sich damit:
A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 =\newline ~~~~ = a^2 + a\cdot b + b \cdot a + b^2 =\newline ~~~~ = a^2 + 2ab + b^2 = \newline \boxed{\left( a + b \right)^2 = a^2 + 2ab + b^2}Die Form \left( a - b \right)^2
Durch Ausmultiplizieren erhält man für die erste binomische Form:
\boxed{\mathbf{\left( a-b \right)^2 = a^2 - 2ab+ b^2}}Geometrische Veranschaulichung
Den Term \left( a-b \right)^2 kann man als Flächeninhalt A_1 eines Quadrats mit den Seitenlängen a-b verstehen (siehe nebenstehende Abbildung). Dieses Quadrat ist einem Quadrat mit der Seitenlänge a eingeschrieben (in der Abbildung durch die starke grüne Randlinie markiert).
Diese Fläche ergibt sich aus der Fläche eines Quadrates mit der Seite a , wenn man jede Seite des Quadrats um den Wert von b verkürzt (siehe nebenstehende Abbildung).
Das in der obigen Abbildung grün markierte Rechteck mit dem Flächeninhalt A_1 = \left( a - b\right)^2 (in nebenstehender Abbildung grün markiert) kann man sich entstanden denken aus einem Rechteck mit dem Flächeninhalt a^2 und einem Rechteck mit dem Flächeninhalt A_2 = a \cdot b (blau markiert) und einem Rechteck mit dem Flächeninhalt A_3 = \left( a - b\right) \cdot b (braun markierte Fläche). Der Flächeninhalt des gesuchten Rechtecks ergibt sich damit:
Insgesamt erhalten wir:
\boxed{\mathbf{\left( a - b \right)^2 = a^2 - 2ab + b^2}}Die Form \left( a + b \right)\cdot \left( a-b \right)
Durch Ausmultiplizieren erhält man für die dritte binomische Form:
\boxed{\mathbf{\left( a+b \right)\cdot\left( a-b\right) = a^2 - b^2}}Geometrische Veranschaulichung
Den Term \left( a+b \right)\cdot\left( a-b \right) kann man als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen a+b und a-b verstehen.
Diese Fläche ergibt sich aus der Fläche eines Quadrates mit der Seite a, wenn man die eine Seite des Quadrats um den Wert von b verlängert und die zweite Seite um den Wert von b verkürzt (siehe nebenstehende Abbildung).
Das in der obigen Abbildung grün markierte Rechteck kann man sich entstanden denken aus einem Rechteck mit dem Flächeninhalt a\cdot\left( a - b \right) (in nebenstehender Abbildung grün markiert) und einem Rechteck mit dem Flächeninhalt b\cdot\left( a-b \right) (blau markiert). Der Flächeninhalt des gesamten Rechteck ergibt sich damit aus:
A = a\cdot\left( a-b \right) + b\cdot\left( a-b \right) = \newline ~~~~= a^2 - ab + ab - b^2 = \mathbf{a^2 - b^2}Die so erhaltene Beziehung bedeutet, dass sich der gesuchte Flächeninhalt aus einem Quadrat mit der Seitenlänge a und einem Quadrat mit der Seitenlänge b ergibt.
In der nebenstehenden Abbildung ist das Quadrat mit der Seitenlänge a mit einer starken gründen Randlinie eingezeichnet. Die Fläche dieses Quadrats lässt sich nun in drei Teilflächen zerlegen:
- Eine Fläche A_1 = a\cdot\left( a-b \right) (grün markiert),
- eine Fläche A_2 = b\cdot\left( b-a\right) (blau markiert) und
- eine Fläche A_3 = b^2 (braun markiert).
Die Fläche A = \left( a+b \right)\cdot\left( a-b \right) entspricht der Summe der Flächen A_1 + A_2. Die selbe Fläche ergibt sich aber auch, wenn man vom Quadrat mit der Seitenlänge a und der Fläche a^2 die Fläche A_3 = b^2 subtrahiert. Insgesamt erhalten wir:
A_1 + A_2 = a^2 -A_3 \newline\underbrace{\overbrace{a\cdot\left( a-b \right)}^{=A_1} +\overbrace{ b\cdot\left( a-b \right)}^{= A_2}}_{=\left( a+b \right)\cdot\left( a-b\right)} = a^2 -b^2 \newline
\boxed{\mathbf{\left( a+b \right)\cdot\left( a-b\right) = a^2 -b^2} \newline}
Höhere Potenzen
Binomische Formeln lassen sich auch für höhere Potenzen angeben:
\left( a \pm b \right)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 \newline \left( a \pm b \right)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4 \newline \left( a \pm b \right)^5 = a^5 \pm 5a^4b + 10a^3b^2 \pm 10a^2b^3 + 5ab^4 \pm b^5 \newlineFür eine beliebige Potenz n \in \mathbb{N^+} ergibt sich der binomische Lehrsatz:
\boxed{\mathbf{\left( a + b \right)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right)\cdot a^{n-k}\cdot b^k~~~n \in \mathbb{N^+}}}
Mit dem Ausdruck \left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right) werden die Binomialkoeffizienten nach der folgenden Formel berechnet:
\left( \begin{array}{c}n \\ k \end{array}\right) = \frac{n!}{k! \cdot \left( n - k \right)!} mit
n! = \begin{cases}\begin{array}{ll} 1 & \textrm{für } n = 0 \\ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n & \textrm{für }n > 0 \end{array} \end{cases}Die Binomialkoeffizienten lassen sich für kleine Werte von n auch mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks bestimmen:
Man beginnt in der ersten Zeile mit einer 1.
Jede weitere Zeile beginnt und endet mit einer 1. Für jede Position dazwischen errechnet sich der Wert aus jenen Zahlen, die in der Zeile darüber links und rechts von der aktuellen Position stehen. Für n = 3 erhält man auf diese Weise für den Koeffizienten an der zweiten Position 1 + 2 = 3, wobei 1 die Zahl links oberhalb und 2 die Zahl rechts oberhalb der zweiten Position der vierten Reihe ist.