Quadratische Gleichungen

In diesem Beitrag wollen wir uns damit befassen, wie man sogenannte quadratische Gleichungen lösen kann.

Allgemeine Form der quadratischen Gleichung

Eine Gleichung der Form

\begin{aligned} \mathbf{a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0} \end{aligned}

wird als allgemeine Form einer quadratischen Gleichung bezeichnet. Die Koeffizienten $a, b, c \in \mathbb{R}$ sind reelle Zahlen mit $a \neq 0$ .

Normalisierte Form der quadratischen Gleichung

Wenn für den Koeffizient $a$ gilt: $a = 1$ , dann schreibt man die quadratische Gleichung in der Form:

\begin{aligned} \mathbf{x^2 + p \cdot x + q = 0} \end{aligned}

Diese Form wird als normalisierte Form der quadratischen Gleichung bezeichnet.

Jede allgemeine quadratische Gleichung lässt sich auf die normalisierte Form bringen. Dazu wird die gesamte Gleichung durch den Faktor $a$ dividiert:

a x^2  +  b x  +  c = 0 ~~~\big \vert~\div a \newline \underbrace{\frac{a}{a}}_{= 1}x^2  +  \underbrace{\frac{b}{a}}_{= p}x  +  \underbrace{\frac{c}{a}}_{q} = 0

Den Wert des Bruchs $\frac{b}{a}$ bezeichnen wir mit $p$ und den Wert des Bruchs $\frac{c}{a}$ bezeichnen wir mit $q$ . Damit ergibt sich die normalisierte Form der quadratischen Gleichung in der oben angegebenen Form:

\mathbf{x^2 + p \cdot x + q = 0}

Lösung einer normierten quadratischen Gleichung

Zum Finden einer Methode, mit der sich quadratische Gleichungen lösen lassen, gehen wir von folgender Ausgangssituation aus:

Wir betrachten ein Quadrat mit der Seitenlänge $x$ (brauneUmrandung). Diesem Quadrat schreiben wir ein Rechteck ein (grün eingefärbt).

Die Länge $l$ des Rechtecks ist um $x_1$ kürzer als die Seitenlänge $x$ des Quadrates, d.h. es gilt: $l = x - x_1$ .

Die Breite $b$ des Rechtecks ist um $x_2$ kürzer als die Seitenlänge $x$ des Quadrates, d.h. es gilt: $b = x - x_2$ .

Die Fläche des Rechtecks ergibt sich damit aus: $A = l \cdot b = \left( x - x_1 \right) \cdot \left( x - x_2 \right)$ . Durch Ausmultiplizieren diesesTerms erhält man:

A = x^2 - \left( x_1 + x_2\right)\cdot x + x_1 \cdot x_2

Wenn wir den Faktor $-\left( x_1 + x_2 \right)$ mit $p$ und das konstante Glied $x_1 \cdot x_2$ mit $q$ bezeichnen, erhalten wir einen Term der Form $x^2 + px + q$ .

Das Lösen der Gleichung $x^2 + px + q = 0$ bedeutet nun nichts anderes, als zu fragen, welche Werte $x_1$ und $x_2$ annehmen müssen, damit die Fläche des Rechtecks den Wert $0$ hat.

Betrachten wir die quadratische Gleichung in der Form $\left( x - x_1 \right) \cdot \left( x - x_2 \right) = 0$ , dann ergibt sich wegen des Produkt-Null-Satzes für die Gleichung genau dann der Wert 0, wenn entweder der Faktor $x - x_1$ oder der Faktor $x - x_2$ den Wert $0$ hat. Die Faktoren sind also genau dann $0$ , wenn gilt:

\mathbf{ x = x_1~~\vee~~x = x_2}

Anzahl der Lösungen

Ein quadratische Gleichung kann zwei Lösungen haben. Für den Fall, dass $x_1 = x_2$ ist, wird aus dem eingeschriebenen Rechteck ein Quadrat und die quadratische Gleichung hat dann nur eine Lösung.

Unter der Annahme, dass die Seitenlänge $x \gt 0$ ist, hat die quadratische Gleichung mindestens eine Lösung, wenn gilt: $x_1 \ge 0 \wedge x_2 \ge 0$ , andernfalls hat die Gleichung keine Lösungen.

Satzgruppe von Vieta

Oben haben wir den Ausdruck $-\left( x_1 + x_2 \right)$ mit $p$ und das Konstante Glied $x_1 \ cdot x_2$ mit $q$ bezeichnet. Zusammen mit der Gleichung $\left( x - x_1\right) \cdot \left( x - x_2 \right) = 0$ ergeben sich die folgenden Aussagen der Satzgruppe von Vieta:

$\mathbf{p = - \left( x_1 + x_2 \right)}$
$\mathbf{q = x_1 \cdot x_2}$
$\mathbf{\left( x - x_1 \right) \cdot \left( x - x_2 \right) = x^2 + px + q}$

Berechnung der Lösungen

Wir gehen von der normierten Form einer quadratischen Gleichung aus. Bringen wir das konstante Glied $q$ auf die rechte seite der Gleichung, erhalten wir:

x^2  +  p x  + q = 0 ~~~\big \vert~-q \newline x^2  +  px = -q

Der Term auf der linken Seite der Gleichung ist ein unvollständiges Quadrat einer binomischen Form $\left( x + a \right)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ . Dem Faktor $p$ aus der quadratischen Gleichung entspricht der Faktor $2a$ in der binomischen Form $\Rightarrow a = \frac{p}{2}$ und damit ist $a^2 = \frac{p^2}{4}$ .

Um die die linke Seite der quadratischen Gleichung zu einem vollständigen Quadrat zu ergänzen, addieren wir auf beiden Seiten $\frac{p^2}{4}$ :

x^2  +  p x  = -q ~~~\big \vert~+ \frac{p2}{4} \newline x^2  +  px + \frac{p^2}{4} = \frac{p^2}{4} - q

Die linke Seite der Gleichung kann nun als binomische Form geschrieben werden:

\left( x  +  \frac{p}{2} \right)^2 = \frac{p^2}{4} - q

Durch Ziehen der Wurzel erhalten wir:

x  +  \frac{p}{2} = \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}

Abschließend bringen wir noch die Konstante auf die rechte Seite der Gleichung und erhalten damit die kleine Lösungsformel für quadratische Gleichungen:

\mathbf{x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}}

Lösung der allgemeinen quadratischen Gleichung

Unter Verwendung der kleinen Lösungsformel und der Beziehung

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}  = 0

lässt sich durch Einsetze von $p = \frac{b}{a}$ und $q = \frac{c}{a}$ in die kleine Lösungsformel die große Lösungsformel herleiten:

x^2  +  p x  + q = 0\newline x^2  +  \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \newline

\mathbf{x_{1,2}} = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} } =  \mathbf{-\frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}}