Quadratische Gleichungen

In diesem Beitrag wollen wir uns damit befassen, wie man sogenannte quadratische Gleichungen lösen kann.

Allgemeine Form der quadratischen Gleichung

Eine Gleichung der Form

\begin{aligned} \mathbf{a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0} \end{aligned}  

wird als allgemeine Form einer quadratischen Gleichung bezeichnet. Die Koeffizienten a, b, c \in  \mathbb{R} sind reelle Zahlen mit a \neq 0.

Normalisierte Form der quadratischen Gleichung

Wenn für den Koeffizient a gilt: a =  1, dann schreibt man die quadratische Gleichung in der Form:

\begin{aligned} \mathbf{x^2 + p \cdot x + q = 0} \end{aligned}  

Diese Form wird als normalisierte Form der quadratischen Gleichung bezeichnet.

Jede allgemeine quadratische Gleichung lässt sich auf die normalisierte Form bringen. Dazu wird die gesamte Gleichung durch den Faktor dividiert:

a x^2  +  b x  +  c = 0 ~~~\big \vert~\div a \newline \underbrace{\frac{a}{a}}_{= 1}x^2  +  \underbrace{\frac{b}{a}}_{= p}x  +  \underbrace{\frac{c}{a}}_{q} = 0

 

Den Wert des Bruchs \frac{b}{a} bezeichnen wir mit p und den Wert des Bruchs \frac{c}{a} bezeichnen wir mit q. Damit ergibt sich die normalisierte Form der quadratischen Gleichung in der oben angegebenen Form:

\mathbf{x^2 + p \cdot x + q = 0}

Lösung einer normierten quadratischen Gleichung

Zum Finden einer Methode, mit der sich quadratische Gleichungen lösen lassen, gehen wir von folgender Ausgangssituation aus:

Wir betrachten ein Quadrat mit der Seitenlänge x (brauneUmrandung). Diesem Quadrat schreiben wir ein Rechteck ein (grün eingefärbt).

Die Länge l des Rechtecks ist um x_1 kürzer als die Seitenlänge x des Quadrates, d.h. es gilt: l = x - x_1.

Die Breite b des Rechtecks ist um x_2 kürzer als die Seitenlänge x des Quadrates, d.h. es gilt: b = x - x_2.

Die Fläche des Rechtecks ergibt sich damit aus: A = l \cdot b = \left( x - x_1 \right) \cdot \left( x - x_2 \right). Durch Ausmultiplizieren diesesTerms erhält man:

A = x^2 - \left( x_1 + x_2\right)\cdot x + x_1 \cdot x_2

Wenn wir den Faktor -\left( x_1 + x_2 \right) mit p und das konstante Glied x_1 \cdot x_2 mit q bezeichnen, erhalten wir einen Term der Form x^2 + px + q.

Das Lösen der Gleichung x^2 + px + q = 0 bedeutet nun nichts anderes, als zu fragen, welche Werte x_1 und x_2 annehmen müssen, damit die Fläche des Rechtecks den Wert 0 hat.

Betrachten wir die quadratische Gleichung in der Form \left( x - x_1 \right) \cdot \left( x - x_2 \right) = 0, dann ergibt sich wegen des Produkt-Null-Satzes für die Gleichung genau dann der Wert 0, wenn entweder der Faktor x - x_1 oder der Faktor x - x_2 den Wert 0 hat. Die Faktoren sind also genau dann 0, wenn gilt:

\mathbf{ x = x_1~~\vee~~x = x_2}

Anzahl der Lösungen

Ein quadratische Gleichung kann zwei Lösungen haben. Für den Fall, dass x_1 = x_2 ist, wird aus dem eingeschriebenen Rechteck ein Quadrat und die quadratische Gleichung hat dann nur eine Lösung.

Unter der Annahme, dass die Seitenlänge x \gt 0 ist, hat die quadratische Gleichung mindestens eine Lösung, wenn gilt: x_1 \ge 0 \wedge x_2 \ge 0, andernfalls hat die Gleichung keine Lösungen.

Satzgruppe von Vieta

Oben haben wir den Ausdruck -\left( x_1 + x_2 \right) mit p und das Konstante Glied x_1 \ cdot x_2 mit q bezeichnet. Zusammen mit der Gleichung \left( x - x_1\right) \cdot \left( x - x_2 \right) = 0 ergeben sich die folgenden Aussagen der Satzgruppe von Vieta:

  • \mathbf{p = - \left( x_1 + x_2 \right)}
  • \mathbf{q = x_1 \cdot x_2}
  • \mathbf{\left( x - x_1 \right) \cdot \left( x  - x_2 \right) = x^2 + px + q}

Berechnung der Lösungen

Wir gehen von der normierten Form einer quadratischen Gleichung aus. Bringen wir das konstante Glied q auf die rechte seite der Gleichung, erhalten wir:

x^2  +  p x  + q = 0 ~~~\big \vert~-q \newline x^2  +  px = -q

Der Term auf der linken Seite der Gleichung ist ein unvollständiges Quadrat einer binomischen Form \left( x + a \right)^2 = x^2 + 2ax + a^2.  Dem Faktor p aus der quadratischen Gleichung entspricht der Faktor 2a in der binomischen Form \Rightarrow a = \frac{p}{2} und damit ist a^2 = \frac{p^2}{4}.

Um die die linke Seite der quadratischen Gleichung zu einem vollständigen Quadrat zu ergänzen, addieren wir auf beiden Seiten \frac{p^2}{4}:

x^2  +  p x  = -q ~~~\big \vert~+ \frac{p2}{4} \newline x^2  +  px + \frac{p^2}{4} = \frac{p^2}{4} - q

Die linke Seite der Gleichung kann nun  als binomische Form geschrieben werden:

\left( x  +  \frac{p}{2} \right)^2 = \frac{p^2}{4} - q

Durch Ziehen der Wurzel erhalten wir:

x  +  \frac{p}{2} = \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}

Abschließend bringen wir noch die Konstante auf die rechte Seite der Gleichung und erhalten damit die kleine Lösungsformel für quadratische Gleichungen:

\mathbf{x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}}

Lösung der allgemeinen quadratischen Gleichung

Unter Verwendung der kleinen Lösungsformel und der Beziehung

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}  = 0

lässt sich durch Einsetze von p = \frac{b}{a} und q = \frac{c}{a} in die kleine Lösungsformel die große Lösungsformel herleiten:

x^2  +  p x  + q = 0\newline x^2  +  \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \newline \mathbf{x_{1,2}} = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} } =  \mathbf{-\frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}}