Berechnung von Quadratwurzeln

Das Quadrat A einer Zahl a erhält man, wenn man die Zahl a mit sich selber multipliziert:A = a^2\newlineFür das Zeihen der Quadratwurzel gibt es die folgende geometrische Interpretation: betrachtet man die Zahl a als Seitenlänge eines Quadrats, dann entspricht die Zahl A dem Flächeninhalt dieses Quadrats. \newlineDas Ziehen der Quadratwurzel aus einer Zahl A ist die Gegenoperation zur Quadrierung einer Zahl: a = \sqrt A  \newlineBei der Berechnung der Quadratwurzel einer Zahl A sucht man also jene Zahl a, deren Quadrat die Zahl A ergibt. An dieser Stelle stellt sich nun die Frage, wie man diese Zahl a berechnen kann. \newlineKeilschrifttafeln belegen, dass schon die Babylonier etwa zur Zeit Hammurapis eine Methode zur Berechnung von Quadratwurzel kannten. Dieses Methode ist unter dem Namen Heron-Verfahren bekannt, weil der griechische Mathematiker Heron von Alexandria ca. 100 n. Chr. dieses Verfahren in seinen Werken beschrieb. \newlineBeim Heron-Verfahren geht man von einem Rechteck aus, das den selben Flächeninhalt A wie das gegebene Quadrat hat. \newlineDie einfachste Möglichkeit ein derartiges Rechteck zu bilden besteht darin, für die Seitenlängen die Werte \mathbf{l_0 = A} und \mathbf{b_0 = 1} zu wählen.\newlineAus dieser Seitenlänge wird nun eine neue Seitenlänge \mathbf{l_1 = \frac{l_0 + b_0}{2}} berechnet.\newlineMit Hilfe der neu berechneten Seitenlänge l_1 wird nun die neue Breite b_1 berechnent:A = l_1 \cdot b_1 \Rightarrow \mathbf{b_1 = \frac{A}{l_1}}.\newlineMit den neu berechneten Seitenlängen l_1 und b_1 lassen sich nun die neuen Seitenlängen l_2 und b_2 berechnen:\mathbf{l_2 = \frac{l_1 + b_1}{2},  b_2 =  \frac{A}{l_1}}\newlineMit den Seitenlängen l_2 und b_2 berechnet man nun neue Seitenlängen l_3 und b_3 und aus diesen wieder neue Seitenlängen l_4 und b_4. \newlineDiesen Prozess setzt man solange fort, bis eine gewünschte Genauigkeit erreicht wird, d.h. bis sich die neu berechneten Seitenlängen von den aktuellen Seitenlängen um weniger als ein vorgegebener Wert unterscheiden.\newline\newlineDas Heron-Verfahren kann damit wie folgt zusammengefasst werden:\newlineAls Startwerte zur Berechnung der Quadratwurzel \mathbf{\sqrt{A}}wählt man:  \newline\mathbf{l_0 = A \, b_0 = 1}\newlineBerechnung verbesserter Werte: \newline\mathbf{l_{i+1} = \frac{1}{2} (l_i + b_i),  b_{i+1} =  \frac{A}{l_i}}\newline Die beiden Gleichungen zur Berechnung der verbesserten Werte lassen sich zu einer Gleichung zusammenfassen: \newline\mathbf{l_{i+1} = \frac{1}{2} (l_i + \frac{A}{l_i}) \qquad i = 0, 1,2, \dots}\newlineAbbruchkriterium: das Verfahren wird abgebrochen, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:\mathbf{ | l_{i+1} - l_i | \le \varepsilon}\newline\newlineBeispiel: Nun wollen wir mit dem vorgestellten Heron-Verfahren die Qudartwurzel von 19 berechnen:WordPress TableDer exakte Wert für \sqrt{19} auf neun Kommastellen genau ist: \mathbf{4,3588989435}.Diese Genauigkeit wird bereits nach 6 Iterationen erreicht.Das Heron-Verfahren liefert bereits nach wenigen Iterationen sehr genaue Ergebnisse. Dies ist auch der Grund warum dieses Verfahren viele Taschnrechner verwenden.

Berechnung von Kubikwurzeln

Ein sehr effizientes numerisches Näherungsverfahren zur Berechnung von Kubikwurzeln ist das Newton-Raphson Verfahren. Dieses Verfahren dient der Berechnung von Nullstellen von Funktionen f(x). Die Gleichung x = \sqrt[3]{a} wird auf die Form x^3 = a bzw. x^3 - a = 0 gebracht. Diese Gleichung kann gelöst werden, indem man die Nullstelle einer Funktion f(x) = x^3  - a berechnet.Berechnung von Nullstellen einer Funktion mit dem Newton-Raphson Verfahren:Das Newton-Raphson Verfahren ist ein iteratives Verfahren. Man beginnt mit einem Startwert x_0 und berechnet daraus einen verbesserten Näherungswert x_1\newlinex_{1} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\newlineDer n+1-te Näherungswert wird aus dem n-ten Näherungswert mit der folgenden Gleichung berechnet:\newline\mathbf{x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\qquad n = 0, 1, 2, \dots}\newlineSetzt man für f(x) = x^3 - a und für f'(x) = 3 x^2 ein, erhält man die folgende Formel zur Berechnung eines verbesserten Näherungswertes:\newline\begin{aligned}x_{n+1} & =  x_n - \frac{f(x)}{f'(x)}\\x_{n+1}& =  x_n - \frac{x_n^3 - a}{3x_n^2}\\x_{n+1}& =  \frac{1}{3} ( 3x_n -x_n + \frac{a}{x_n^2} )\\\mathbf{x_{n+1}}& \mathbf{=}  \mathbf{\frac{1}{3} ( 2x_n + \frac{a}{x_n^2} )}\end{aligned}\newlineDas Newton-Raphson Verfahren kann damit wie folgt zusammengefasst werden:\newlineEinen Startwerte zur Berechnung der Kubikwurzel \mathbf{\sqrt[3]{a}}findet man durch die Grob-Abschätzung über Zehnerpotenzen:Es sei s die Anzahl der Stellen der Zahl a. Eine Grobabschätzung für das Ergebnis von \sqrt[3]{a} erhält man dann aus\newline\mathbf{x_0 = 10^{\frac{s}{3}}}\newlineBerechnung verbesserter Werte: \newline\mathbf{x_{n+1} = \frac{1}{3} ( 2x_n + \frac{a}{x_n^2} )}\newline Abbruchkriterium: das Verfahren wird abgebrochen, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:\mathbf{ | x_{i+1} - x_i | \le \varepsilon}\newline\newlineBeispiel: Nun wollen wir mit dem vorgestellten Newton-Raphson Verfahren die Kubikwurzel von 19 berechnen:WordPress Table

Berechnung von Wurzeln mit beliebigem Radikanden

In diesem Abschnitt soll die Frage beantwortet werden, wie man die n-te Wurzel ( n \in \mathbb{R} ) berechnen kann. Zur Berechnung von x = \sqrt[n]{a} nutzt man den folgenden Zusammenhang:\newline\begin{aligned}x & = \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\\ln(x)& =  \frac{1}{n} \cdot ln(a)\end{aligned}\newlineHat man den Wert von ln(x) berechnet wird der gesuchte Wert x durch Potenzieren berechnet:\newline\mathbf{x = e^{\frac{1}{n} \cdot ln(a)}}\newlineBei Verwendung dieser Methode stellen sich nun allerdings zwei Fragen:

1. Wie berechnet man den Logarithmus ln (a)?
2. Wie berechnet man für eine Zahl x \in \mathbb{R} den Wert von e^x?

ad 1) Berechnung des ln (a) \newlineIm Jahr 1668 hat Nicolaus Mercator in seinem Werk Logarithmotechnia die nach ihm benannte Mercator Reihe veröffentlicht.\newline\mathbf{ln (x + 1) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots}\newlineGültigkeitsbereich: diese Reihe konvergiert nur für Werte von x aus dem Intervall \mathbf{-1 \lt x \le 1}\newlineZur Berechnung der Mercator-Reihe für Werte außerhalb des Gültigkeitsbereichs bedient man sich des Kehrwerttricks:\newline\mathbf{ln(x) = - ln ( \frac{1}{x})}\newlinead 2) Berechnung der Potenz e^x \newlineZur Berechnung e^x einer Zahl x \in \mathbb{R} bedient man sich der folgenden Taylor-Reihe:\newline\mathbf{e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{n = 0}^{∞}\frac{x^n}{n!}}\newline