Zahlenmengen

Natürliche Zahlen

Die Zahlen \mathbf{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \ldots} werden als natürliche Zahlen bezeichnet. Die natürlichen Zahlen beginnen bei der Zahl 0. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es einen Nachfolger n + 1.

Die Menge aller ntürlichen Zahlen wird mit \mathbf{\mathbb{N}} = \{ 0, 1, 2, 3, \ldots \} bezeichnet.

Ordnung der natürlichen Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind geordnet, d.h. dass es bis auf die Zahl 0 zu jeder natürlichen Zahl \mathbf n einen Vorgänger \mathbf{n - 1} und einen Nachfolger \mathbf{n + 1} gibt. dadurch entsteht eine Ordnungsrelation:

• der Vorgänger n - 1 einer Zahl n ist kleiner als die Zahl: \mathbf{n - 1 \lt n}
• der Nachfolger n + 1 einer Zahl n ist größer als die Zahl: \mathbf{n + 1 \gt n}

Abgeschlossenheit der Menge der Natürlichen Zahlen

Unter der Abgeschlossenheit einer Menge bezüglich einer Rechenoperation versteht man, dass die Verknüpfung beliebiger Elemente der Menge als Ergebnis wieder ein Element der Menge liefert.

Abgeschlossenheit

Die Menge \mathbb{N} ist gegenüber der Addition und der Multiplikation abgeschlossen. Die Summe bzw. das Produkt zweier beliebiger natürlicher Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl.

Gegenüber der Subtraktion und der Division ist die Menge \mathbb{N} nicht abgeschlossen.

Beispiele:

Für die Rechenoperation 5 - 7 = -2 gibt es in der Menge \mathbb{N} keine Lösung. Die Lösung -2 ist in der Menge \mathbb{N} nicht enthalten.

Auch für die Rechenoperation 3 \div 2 gibt es in der Menge \mathbb{N} keine Lösung. Die Lösung 1,5 ist in der Menge \mathbb{N} nicht enthalten.

Ganze Zahlen

Die negativen Zahlen \mathbf{-1, -2,- -3, \ldots} gehören nicht zur Menge de natürlichen Zahlen. Sie werden als negative ganze Zahlen bezeichnet. Im Gegensatz dazu werden die Zahlen \mathbf{1, 2, 3, \ldots} als positive ganze Zahlen bezeichnet. Die negativen und die positiven ganzen Zahlen bilden zusammen mit der 0 die Menge \mathbf{\mathbb{Z}} der ganzen Zahlen.

Eigenschaften

Jede gane Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger. Es gibt weder eine kleinste noch eine größte ganze Zahl.

• positive ganze Zahlen: \mathbb{Z}^{+} = \{ x \in \mathbb{Z} \vert x\gt 0 \}
• negative ganze Zahlen: \mathbb{Z}^{-} = \{ x \in \mathbb{Z} \vert x\lt 0 \}

Zahl und Gegenzahl

Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden, heißen Gegenzahlen. Die Gegenzahl von a ist -a, die Gegenzahl von -a ist - \left( -a \right) = a.

Betrag einer Zahl

Der Abstand einer Zahl vom Nullpunkt wird als (absoluter) Betrag der Zahl bezeichnet. Eine Zahl \mathbf a und ihre Gegenzahl \mathbf{-a} haben denselben Betrag: \mathbf{\vert +a \vert = \vert -a \vert \ge 0}

Addition ganzer Zahlen

Zur Veranschaulichung der Addition ganzer Zahlen, stellen wir diese als Pfeile das. Positive ganzen Zahlen werden als Pfeile dargestellt, die nach rechts zeigen. Negative ganze Zahlen werden als Pfeile dargestellt, die nach links zeigen.

Die Berechnung von \color{blue}3 + \color{green}2 kann mit Pfeilen, wie in nebenstehender Abbildung dargestellt, visualisiert werden. Beide Summanden sind positiv, d.h. die entsprechenden Pfeile zeigen beide nach rechts. Die Addition wird nun so ausgeführt, dass an den Pfeil für den Summanden \mathbf{\color{blue}a} der Pfeil für den Summanden \mathbf{\color{green}b} angehängt wird. Das Ergebnis \mathbf{\color{brown}a + b = 3 + 2 = 5} wird durch jenen Pfeil repräsentiert, der vom Anfangspunkt des Pfeils \mathbf{\color{blue}a} bis zum Endpunkt des Pfeils \mathbf{\color{green}b} geht.

Die Berechnung von \color{blue}5 + \color{green}\left( -2 \right) erfolgt analog wie die Berechnung von 3 + 2. Der Unterschied besteht nun darin, dass  der zweite Summand \mathbf{\color{green}b} eine negative Zahl ist. Sie wird durch einen Pfeil repräsentiert, der nach links zeigt. Das Ergebnis der Addition wird, wie oben, durch jenen Pfeil repräsentiert, der vom Anfangspunkt des Pfeils \mathbf{\color{blue}a} bis zum Endpunkt des Pfeils \mathbf{\color{green}b} geht.

Subtraktion ganzer Zahlen

Die Subtraktion rationaler Zahlen kann auf die Addition zurückgeführt werden. Dazu verwendet man die Gegenzahl einer Zahl.

Gegenzahl

Zu jeder ganzen Zahl \mathbf{a} existiert eine Gegenzahl \mathbf{-a}. Die Summe einer Zahl a und ihrer Gegenzahl -a ergibt immer 0:

a + \left( - a\right) = a - a = 0

Mit der Gegenzahl kann die Subtraktion ganzer Zahlen a und b wie folgt auf die Addition zurückgeführt werden:

a - b = a + \left( -b \right)

Diese Addition kann dann wie oben beschrieben ausgeführt werden.

Multiplikation ganzer Zahlen

Die Multiplikation kann als Abkürzung der Addition verstanden werden:

a \cdot b = \underbrace{a + a + a + \ldots + a}_{b \times}  = \underbrace{b + b + \ldots + b}_{a \times}

Multiplikation mit einer positiven ganzen Zahl

\boxed{\begin{array}{lclclcl}\mathbf{a > 0} & \Rightarrow &\mathbf{a \cdot b} &= &\left( +a \right) \cdot \left( +b \right) &=& \mathbf{+ \left( a \cdot b \right)}\\ \mathbf{a < 0} & \Rightarrow& \mathbf{ (-a) \cdot (+b)} &=&  - \left( \left( +a \right) \cdot \left( +b \right) \right) &=& \mathbf{- \left( a \cdot b \right)}\end{array}}

Merke:

• Wird eine positive ganze Zahl mit einer positiven ganzen Zahl multipliziert, ist das Ergebnis eine positive ganze Zahl. („Plus mal Plus ergibt Plus“)
• Wird eine negative ganze Zahl mit einer positiven ganzen Zahl multipliziert, ist das Ergebnis eine negative ganze Zahl. („Minus mal Plus ergibt Minus“)

Multiplikation mit einer negativen ganzen Zahl

\boxed{\begin{array}{lclclcl}\mathbf{a > 0} & \Rightarrow &\mathbf{a \cdot (-b)} &= &- \left( \left( +a \right) \cdot \left( +b \right)\right) &=& \mathbf{- \left( a \cdot b \right)}\\ \mathbf{a < 0} & \Rightarrow& \mathbf{ (-a) \cdot (-b)} &=& - \left( - \left( \left( +a \right) \cdot \left( +b \right) \right) \right)&=& \mathbf{+ \left( a \cdot b \right)}\end{array}}

Merke:

• Wird eine positive ganze Zahl mit einer negativen ganzen Zahl multipliziert, ist das Ergebnis eine negative ganze Zahl. („Plus mal Minus ergibt Minus“)
• Wird eine negative ganze Zahl mit einer negativen ganzen Zahl multipliziert, ist das Ergebnis eine positive ganze Zahl. („Minus mal Minus ergibt Plus“)

Zusammenfassung

\boxed{\begin{array}{ll}(+a) \cdot (+b) = + (a \cdot b)& \textnormal{Plus mal plus gibt plus.} \\ (-a) \cdot (-b) = + (a \cdot b)& \textnormal{Minus mal minus gibt plus.} \\ (+a) \cdot (-b) = - (a \cdot b)& \textnormal{Plus mal minus gibt minus.} \\ (-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)& \textnormal{Minus mal plus gibt minus.}\end{array}}

Dividieren ganzer Zahlen

Wie beim Multiplizieren ganzer Zahlen gelten auch für das Dividieren ganzer Zahlen die folgenden Regeln:

\boxed{\begin{array}{ll}(+a) \div (+b) = + (a \div b)& \textnormal{Plus durch plus gibt plus.} \\ (-a) \div (-b) = + (a \div b)& \textnormal{Minus durch minus gibt plus.} \\ (+a) \div (-b) = - (a \div b)& \textnormal{Plus durch minus gibt minus.} \\ (-a) \div (+b) = -(a \div b)& \textnormal{Minus durch plus gibt minus.}\end{array}}

Merke:

Durch die Zahl \mathbf{0} kann nicht dividiert werden!

Abgeschlossenheit

Die Menge \mathbb{Z} ist abgeschlossen gegenüber der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation. Sie ist nicht abgeschlossen gegenüber der Division.

Beispiel:

Für die Rechenoperation 4 \div 3 = 1,333 \ldots = 1,\overline{3} gibt es in der Menge \mathbb{Z} keine Lösung. Die Lösung 1,\overline{3} ist eine Dezimalzahl, sie ist in der Menge \mathbb{Z} nicht enthalten.

Rationale Zahlen

Bei der Division ganzer Zahlen gibt es zwei Möglichkeiten:

• Der Dividend ist ein Vielfaches des Divisors \Rightarrow bei der Division bleibt kein Rest, der Quotient ist eine ganze Zahl.
• Der Dividend ist kein Vielfaches des Divisors \Rightarrow bei der Division bleibt ein Rest, der Quotient ist keine ganze Zahl.

Für die Division a \div b zweier ganzer Zahlen führt man eine neue Schreibweise ein, die Bruchschreibweise:

\boxed{a \div b = \frac{a}{b},~~~~~a, b \in \mathbb{Z} \land b \ne 0 }

Ein Bruch besteht aus einem Bruchstrich, einem Zähler und einem Nenner. Der Zähler wird oberhalb, der Nenner wird unterhalb des Bruchstrichs angeschrieben. Der Zähler entspricht dem Dividenden, der Nenner entspricht dem Divisor.

Ein Bruch stellt eine nicht ausgeführte Division dar!

Die Menge \mathbb{Q}~~\left( \mathbb{Q} \textnormal{ steht für Quotient}\right) der rationalen Zahlen wird  wie folgt definiert:

\boxed{\mathbf{\mathbb{Q} = \Big\{ \frac{a}{b} \Big\vert a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0\Big\}}}

Die Menge \mathbb{Q} ist die Menge aller Brüche, sie setzt sich zusammen aus der Zahl \mathbf{0}, der Menge der positiven rationalen Zahlen \mathbf{\mathbb{Q}^{+}} und der Menge der negativen rationalen Zahlen {\mathbb{Q^{-}}}.

Eigenschaften

Abgeschlossenheit

Die Menge \mathbb{Q} ist abgeschlossen gegenüber der Addition, der Subtraktion der Multiplikation und der Division.

Periodische Dezimalzahlen

Eine rationale Zahl steht für eine nicht ausgeführte Division. Führt man diese Division aus, gibt es folgende Fälle:

• der Quotient kann eine ganze Zahl sein: \frac{24}{4} = 6
• der Quotient kann eine Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen sein: \frac{7}{4} = 1,75
• der Quotient kann eine Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen sein. Wenn dies der Fall ist, ist das Ergebnis immer eine rein periodische \left( \frac{2}{3} = 0,666 \ldots = 0,\overline{6} \right) oder eine gemischt periodische Dezimalzahl \left( \frac{7}{30} = 0,2333 \ldots = 0,2 \overline{3} \right).

Periodische Dezimalzahlen in Brüche Umwandeln

Rein periodische Dezimalzahlen

Zur Umwandlung einer rein periodischen Dezimalzahl, z.B. 0,\overline{123} = 0,123123123 \ldots, in eine Bruchzahl gehen wir wie folgt vor:

Zunächst bezeichnen wir die gesuchte Bruchzahl mit x. Für sie gilt: x = 0, \overline{123}.

Nun bestimmen wir die Länge p  der Periode. Für die gegebene Zahl x ergibt sich: p = 3.

Im nächsten Schritt multiplizieren wir die Gleichung x = 0, \overline{123} mit 10^{ p} = 10^3 = 1000:

\begin{array}{rcrcl}x &=& 0, \overline{123}& \vert & \cdot 1000 \\ 1000 \cdot x &=& 123,\overline{123}&  &  \end{array}

Zur Berechnung von x bilden wir die Differenz der beiden obigen Gleichungen und lösen die resultierende Gleichung nach x auf:

\begin{array}{rcr}1000 \cdot x &=& 123,\overline{123} \\ -x &=& -0,\overline{123} \\ \hline \\ 999 \cdot x &=& 123 \\ x & = & \frac{123}{999}\end{array}

Abschließend können wir die erhaltene Bruchzahl noch so weit wie möglich kürzen und erhalten:

\mathbf{x} = \frac{123}{999} = \mathbf{\frac{41}{333}}

 

Zusammenfassung:

Eine rein periodische Dezimalzahl wird in eine Bruchzahl umgewandelt, indem man die Ziffern der Periode in den Zähler schreibt. In den Nenner schreibt man so viele Neuner, wie die Periode Stellen hat.

Gemischt periodische Dezimalzahlen

Wenn wir z.B. die Zahl 0,12 \overline{456} = 0,12456456 \ldots betrachten, dann sind die ersten beiden Stellen nach dem Komma nicht periodisch, die folgenden drei Stellen wiederholen sich periodisch. Die ersten beiden Stellen werden als Vorperiode, die folgenden drei Stellen als Periode bezeichnet. Zur Umwandlung in eine Bruchzahl gehen wir wie folgt vor:

Zunächst bezeichnen wir die gesuchte Bruchzahl mit x. Für sie gilt: x = 0,12 \overline{456}.

Nun bestimmen die Länge v der Vorperiode und die Länge p der Periode. Für die gegebene Zahl ergibt sich: v = 2,~~~p = 3.

Im nächsten Schritt multiplizieren wir die Gleichung x = 0,12 \overline{456} mit 10^{v + p} = 10^5 = 100000:

\begin{array}{rclcl}x &=& 0,12 \overline{456}& \vert & \cdot 100000 \\ 100000 \cdot x &=& 12456,\overline{456}&  &  \end{array}

Anschließend multiplizieren wir die Gleichung x = 0,12 \overline{456} mit 10^{v } = 10^2 = 100:

\begin{array}{rclcl}x &=& 0,12 \overline{456}& \vert & \cdot 100 \\ 100 \cdot x &=& 12,\overline{456} \overline{456}&  &  \end{array}

Zur Berechnung von x bilden wir die Differenz der beiden obigen Gleichungen und lösen die resultierende Gleichung nach x auf:

\begin{array}{rcr}100000 \cdot x &=& 12456,\overline{456} \\- 100 \cdot x &=& -12,\overline{456} \\ \hline \\ 99900 \cdot x &=& 12444 \\ x & = & \frac{12444}{99900}\end{array}

Abschließend können wir die erhaltene Bruchzahl noch so weit wie möglich kürzen und erhalten:

\mathbf{x} = \frac{12444}{99900} = \frac{6222}{49950} = \mathbf{\frac{3111}{24975}}

 

Zusammenfassung:

Eine gemischt periodische Dezimalzahl wird in eine Bruchzahl umgewandelt, indem man die Ziffern der Vorperiode und der Periode in den Zähler schreibt. Davon werden die Ziffern der Vorperiode subtrahiert.

In den Nenner schreibt man so viele Neuner, wie die Periode Stellen hat und zusätzlich so viele Nullen, wie die Vorperiode Stellen hat.

Rechnen mit rationalen Zahlen

Die Rechenregeln für die Grundrechnungsarten gelten auch für rationale Zahlen. Dem Rechnen mit rationalen Zahlen ist eine detaillierte Beschreibung auf einer eigenen Seite gewidmet. Folge dazu dem Link Rechnen mit rationalen Zahlen.

Zwischen zwei Dezimalzahlen gibt es unendlich viele weitere Dezimalzahlen

Dass es zwischen zwei rationalen Zahlen x_1 = \frac{a}{b} und x_2 = \frac{c}{d} unendlich viele weitere rationale Zahlen gibt, lässt sich wie folgt zeigen:

Zunächst berechnen wir das arithmetische Mittel x_3 der beiden Zahlen x_1 = \frac{a}{b} und x_2 = \frac{c}{d}:

x_3 = \frac{1}{2}\cdot \left[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right] = \frac{1}{2}\cdot \left[ \frac{a \cdot d~+~b \cdot c}{b \cdot d} \right]

 

Der Ausdruck a \cdot d~+~b \cdot c im Zähler ist die Summe zweier Produkte ganzer Zahlen. Weil die Menge \mathbb{Z} gegenüber der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist, ist das Ergebnis von a \cdot d~+~b \cdot c ebenfalls eine ganze Zahl.

Für den Ausdruck b \cdot d im Nenner gilt ebenfalls, dass das Produkt zweier ganzer Zahlen eine ganze Zahl ist.

Die Multiplikation mit \frac{1}{2} bedeutet, dass Zähler und Nenner jeweils mit einer ganzen Zahl multipliziert werden \Rightarrow~x_3 = \frac{1}{2}\cdot \left[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right] ist der Quotient zweier ganzer Zahlen, also eine rationale Zahl.

Man kann nun mit den Zahlen x_1 und x_3 eine weitere Zahl x_4 bestimmen, die wieder genau in der Mitte zwischen den Zahlen x_1 und x_3 liegt. Mit den Zahlen x_1 und x_4 lässt sich wieder eine Zahl x_5 bestimmen. Dieses Verfahren kann endlos fortgesetzt werden. Damit ist gezeigt, dass zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen x_1 und x_2 unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen.

Reelle Zahlen

Die Quadratwurzel

Die Menge \mathbb{Q} der rationalen Zahlen ist zwar gegenüber den Grundrechnungsarten abgeschlossen. Dennoch gibt es Zahlen, die in der Menge \mathbb{Q} nicht vorkommen. Betrachten wir z. B. ein Quadrat mit einem Flächeninhalt von 2 FE (FlächenEinheiten). Der Flächeninhalt eines Quadrates ergibt sich aus dem Produkt der Seitenlänge a mit sich selbst, also aus:

A = a \cdot a = a^2 = 2

Wir müssen also eine Zahl finden, die mit sich selbst multipliziert den Wert 2 ergibt. Diese Zahl schreibt man in der Mathematik als \sqrt{2}. Sie wird als die Quadratwurzel der Zahl 2 bezeichnet. Das Ziehen der Quadratwurzel ist die Umkehroperation des Quadrierens.

Wählen wir für a = 1, ergibt sich für den Flächeninhalt A = 1 FE. Für a = 2 erhalten wir für den Flächeninhalt A = 4 FE. Die gesuchte Zahl a muss also zwischen 1 und 2 liegen.

Wir versuchen nun, ausgehend von den Werten a_u = 1 und a_o = 2 die gesuchte Zahl a immer weiter einzugrenzen. Dazu vergrößern wir schrittweise den Wert von a_u und verkleinern schrittweise den Wert von a_o.

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \mathbf{~~~~~~~a_u} & \mathbf{~~~~~~~~~~a_u^2} & ~~~~~~~\mathbf{a_o} & ~~~~~~~~~~~~\mathbf{a_o^2} \\[0.25em] \hline 1,4 = \frac{14}{10} & \frac{196}{100} = 1,96 & 1,5 = \frac{15}{10} & \frac{225}{100} = 2,25  \\[0.4em] \hline 1,4 = \frac{14}{10} & \frac{196}{100} = 1,96 & 1,45 = \frac{145}{100} & \frac{21025}{10000} = 2,1025 \\[0.4em] \hline 1,41 = \frac{141}{100} & \frac{19881}{10000} = 1,9881 & 1,45 = \frac{1415}{1000} & \frac{2002225}{1000000} = 2,200225\\[0.4em] \hline \end{array}\\ \\

Nach drei Schritten haben wir den Wert von a = \sqrt{2} auf das Intervall 1,41 \lt a  \lt 1,45 bzw. auf \frac{141}{100}\lt a  \lt  \frac{145}{100}eingegrenzt. Damit stellt sich die Frage, ob es ein Bruchzahl \frac{m}{n} gibt, für die gilt:

\frac{m}{n} = \sqrt{2}, bzw. \left( \frac{m}{n} \right)^2 = \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n}= 2.

Bereits Euklid hat gezeigt, dass es keine rationale Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert den Wert 2 ergibt, d.h. \sqrt{2} ist keine rationale Zahl.

Er hatte seinen Beweis indirekt geführt. Er hat angenommen, dass die Zahl \sqrt{2} eine rationale Zahl sei. Dann gibt es zwei ganz Zahlen m und n mit denen sich die Zahl \sqrt{2} als Bruch schreiben lässt:

\sqrt{2} = \frac{m}{n}

Wir nehmen an, dass dieser Bruch vollständig gekürzt ist. Dies bedeutet, dass die beiden Zahlen m und n teilerfremd sein müssen. Daher können die Zahlen m und n nicht gleichzeitig gerade Zahlen sein. Für das Quadrat erhalten wir:

2 = \frac{m^2}{n^2}~~~~~~~~~~ (1)

Aus dieser Gleichung ergibt sich durch Umformen, dass m^2 doppelt so groß sein muss wie n^2:

2 \cdot n^2 = m^2~~~~~~~~~~(2)

Die Zahl m^2 ist also ein Vielfaches von 2, sie muss daher eine gerade Zahl sein. Weil das Quadrat einer geraden Zahl eine gerade Zahl und das Quadrat einer ungeraden Zahl eine ungerade Zahl ist, kann die Zahl m nur eine gerade Zahl sein. Wenn m aber eine gerade Zahl ist, dann ist 2 ein Teiler von m. Es gibt dann eine Zahl k für die gilt:

m = 2 \cdot k~~~\Rightarrow~~~m^2 = \left( 2\cdot k \right)^2 = 4k^2 ~~~~~~~~~~(3)

Setzen wir nun das Ergebnis von Gleichung (3) in Gleichung (2) ein, erhält man:

\begin{array}{lcl}2 \cdot n^2 &=& 4 \cdot k^2 \\ n^2 & = & 2 \cdot k^2\end{array}

Damit ist gezeigt, dass auch n eine gerade Zahl sein muss. Dieses Ergebnis steht aber im Widerspruch zur anfangs getroffenen Annahme, damit ist gezeigt, dass die Annahme, dass \sqrt{2} als Bruchzahl angeschrieben werden kann, falsch ist.

Graphisches Wurzelziehen

Auf der Seite die Schnecke des Pythagoras sind Methoden beschrieben mit denen die Quadratwurzel graphisch bestimmt werden kann.

Höhere Wurzeln

Die Umkehrung des Potenzierens wir auch dann nötig, wenn man von einem Würfel das Volumen kennt und seine Kantenlänge berechnen möchte. Die Problemstellung lautet dann: Welche Zahl a ergibt, dreimal mit sich selbst multipliziert, den Wert 2?

a \cdot a \cdot a = a^3 = 2

Für die gesuchte Zahl a schreibt man a = \sqrt[3]{2}. Man nennt a dir dritte Wurzel oder Kubikwurzel aus 2.

Allgemeiner nennt man die Umkehrung des Potenzierens einer positiven Zahl a mit einer positiven ganzen Zahl n die n-te Wurzel aus a:

\boxed{\mathbf{a^n = b~~~\Leftrightarrow~~~a = \sqrt[n]{b}}}

Die Zahl b wird als Radikand, die Zahl n als Wurzelexponent bezeichnet.

Beim Ziehen einer Wurzel erhält man als Ergebnis eine ganze oder eine nicht rationale Zahl.

Irrationale Zahlen

Die Zahlen \sqrt{2} oder \sqrt[3]{2} sind also keine rationalen Zahlen, man nennt sie irrationale Zahlen. Neben diesen Zahlen gibt es unendlich viele weitere irrationale Zahlen. Besonders die Operation des Wurzelziehens führt immer wieder zu irrationalen Zahlen (siehe Quadratzahlen). Weitere wichtige irrationale Zahlen sind die Kreiszahl \pi und die Eulersche Zahl e.

Eigenschaften irrationaler Zahlen:

• irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen
• irrationale Zahlen sind nicht periodisch

Die irrationalen Zahlen werden in der Menge \mathbb{I} der irrationalen Zahlen zusammengefasst.

Die reellen Zahlen

Die Menge \mathbb{Q} der rationalen Zahlen und die Menge \mathbb{I} der irrationalen Zahlen bilden zusammen \mathbb{R} die Menge der reellen Zahlen:

\boxed{\mathbf{\mathbb{Q}~\cup~\mathbb{I} = \mathbb{R}}}

Die Überabzählbarkeit reeller Zahlen

Wie die Mengen \mathbb{N}, \mathbb{Z} und \mathbb{Q} enthält auch die Menge \mathbb{R} der reellen Zahlen unendlich viele Elemente. Es gibt aber einen wesentlichen Unterschied. Die Mengen \mathbb{N}, \mathbb{Z} und \mathbb{Q} sind abzählbar, während die Menge \mathbb{R} überabzählbar ist. Vereinfacht formuliert bedeutet dies, dass jede Auflistung von reellen Zahlen unvollständig ist, oder anders formuliert: Es kann keine Liste von reellen Zahlen erstellt werden, die alle reellen Zahlen enthält. Der Beweis für diese Behauptung wurde von Georg Cantor im Jahr 1877 mit seinem „Diagonalverfahren“ geführt.

Beschränken wir uns auf die reellen Zahlen zwischen 0 und 1.

Wir denken uns eine Liste beliebiger reeller Zahlen aus dem Intervall \left( 0; 1 \right) aus und schreiben diese so untereinander, dass gleiche Stellenwerte in einer Spalte zu stehen kommen.

\begin{array}{lrccccccccc}\textnormal{1. Zahl: }&0,&5&1&4&8&3&0&9&9& \ldots \\ \textnormal{2. Zahl: }&0,&4&8&3&3&1&0&2&6& \ldots \\ \textnormal{3. Zahl: }&0,&6&6&4&0&1&2&7&7& \ldots \\ \textnormal{4. Zahl: }&0,&0&0&8&7&6&4&2&9& \ldots  \\ \textnormal{5. Zahl: }&0,&7&6&4&1&0&5&5&9& \ldots \\ \textnormal{usw. }&:&:&:&:&:&:&:&:&:& \ldots \end{array}

Cantor hat nun gezeigt, dass mit der folgenden Vorgehensweise eine Zahl zwischen 0 und 1 gefunden werden kann, die in der obigen Liste nicht vorkommt.

Wir wählen eine Zahl

• deren erste Nachkommastelle mit der ersten Nachkommastelle der ersten Zahl in der Liste nicht übereinstimmt (\textcolor{red}{5}),
• deren zweite Nachkommastelle mit der zweiten Nachkommastelle der zweiten Zahl in der Liste nicht übereinstimmt (\textcolor{red}{8}),
• deren dritte Nachkommastelle mit der dritten Nachkommastelle der dritten Zahl in der Liste nicht übereinstimmt (\textcolor{red}{4}),
• deren vierte Nachkommastelle mit der vierten Nachkommastelle der vierten Zahl in der Liste nicht übereinstimmt (\textcolor{red}{7}),
• deren fünfte  Nachkommastelle mit der fünften Nachkommastelle der fünften Zahl in der Liste nicht übereinstimmt (\textcolor{red}{0}),
• usw.

\begin{array}{lrccccccccc}\textnormal{1. Zahl: }&0,&\textcolor{red}{5}&1&4&8&3&0&9&9& \ldots \\ \textnormal{2. Zahl: }&0,&4&\textcolor{red}{8}&3&3&1&0&2&6& \ldots \\ \textnormal{3. Zahl: }&0,&6&6&\textcolor{red}{4}&0&1&2&7&7& \ldots \\ \textnormal{4. Zahl: }&0,&0&0&8&\textcolor{red}{7}&6&4&2&9& \ldots  \\ \textnormal{5. Zahl: }&0,&7&6&4&1&\textcolor{red}{0}&5&5&9& \ldots \\ \textnormal{usw. }&:&:&:&:&:&:&:&:&:& \ldots \end{array}

Die so erhaltene Zahl könnte \textcolor{red}{0,61943 \ldots} lauten. Sie ist eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 und sie ist in der  angegebenen Liste nicht enthalten, weil sie sich von der i-ten in der Liste enthaltenen Zahl mindestens an der i-ten Stelle unterscheidet.

Weil sich mit diesem Verfahren für jede beliebige Liste reeller Zahlen mindestens eine reelle Zahl finden lässt, die in der Liste nicht enthalten ist, ist gezeigt, dass es keine Liste reeller Zahlen gibt, die alle reelle Zahlen enthält. Man sagt, die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar, sie ist mächtiger als die Mengen \mathbb{N}, \mathbb{Z} und \mathbb{Q}. Obwohl all diese Mengen unendlich viele Elemente enthalten, beinhaltet die Menge \mathbb{R} mehr Elemente.

Abgeschlossenheit

Die Menge \mathbb{R} ist gegenüber den Grundrechnungsarten abgeschlossen. Gegenüber dem Wurzelziehen ist die Menge \mathbb{R} nur für positive reelle Zahlen abgeschlossen.

Komplexe Zahlen

Manche Anwendungen in den Naturwissenschaften (Quantenmechanik, Elektrotechnik) lassen sich einfacher lösen, wenn man auch mit Wurzeln aus negativen reellen Zahlen rechnen kann.

Bei der Berechnung von Wurzeln aus negativen Zahlen tritt folgendes Problem auf: Welchen Wert hat die Lösung der Gleichung x = \sqrt{-1}?

Die Lösung x dieser Gleichung muss für die Probe x^2 = -1 eine wahre Aussage liefern. Für jede reelle Zahl x \in \mathbb{R} gilt aber, dass x^2 \ge 0 ist. In der Menge der reellen Zahlen gibt es also keine Zahl, die eine Lösung der Gleichung x = \sqrt{-1} ist.

Immer dann, wenn eine Zahlenmenge gegenüber einer Rechenoperation nicht abgeschlossen war, wurde dieses Problem dadurch behoben, dass man neue Zahlen „erfunden“ hat. Auch das Problem des Wurzelziehens aus negativen Zahlen lässt sich auf diese Weise lösen.

Die imaginäre Einheit

Durch die Anwendung der üblichen Rechenregeln lässt sich die Wurzel aus jeder negativen auf die Wurzel aus -1 zurückführen.

Beispiel:

\sqrt{-9} = \sqrt{9 \cdot \left( -1 \right)} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{-1} = 3 \cdot \sqrt{-1}.

Die Zahl \sqrt{-1} wird nun nicht weiter ausgerechnet, für sie wird eine Definition eingeführt:

\boxed{\mathbf{\textnormal{Die imaginäre Einheit }i \textnormal{ ist jene Zahl, für die gilt: } i^2 = -1 }}

Aus dieser Definition folgt unmittelbar: \mathbf{\mathbf{\sqrt{-1} = i}}

Imaginäre Zahlen

Alle Vielfachen b \cdot i der imaginären Einheit mit b \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} heißen imaginäre Zahlen.

Komplexe Zahlen

Mit den reellen und den imaginären Zahlen lassen sich mathematische  Ausdrücke der Form a + b \cdot i mit a, b \in \mathbb{R} bilden. Diese Ausdrücke werden als komplexe Zahlen bezeichnet, wobei man a den Realteil und b den Imaginärteil nennt. Die Menge der komplexen Zahlen wird mit \mathbb{C} bezeichnet.

Komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene

Jede komplexe Zahl ist durch den Realteil a \in \mathbb{R} und den Imaginärteil b \in \mathbb{R} und damit durch das geordnete Zahlenpaar \left( a, b\right) eindeutig festgelegt. Dieses Zahlenpaar lässt sich als Vektor in einer Ebene interpretieren.

Auf der ersten Achse liegen alle Punkte \left( a, 0\right), also alle reellen Zahlen. Die erste Achse wird daher als reelle Achse bezeichnet. Auf der zweiten Achse liegen alle Zahlenpaare \left( 0, b \right), also alle imaginären Zahlen. Die zweite Achse wird daher als imaginäre Achse bezeichnet.

Die gesamte Ebene heißt die komplexe oder Gaußsche Zahlenebene.

Konjugiert komplexe Zahlen

Ist z = a + b \cdot i eine komplexe Zahl, dann nennt man \overline{z} = a - b \cdot i die zu z konjugiert komplexe Zahl.

Konjugiert komplexe Zahlen unterscheiden sich also nur im Vorzechen des Imaginärteils.

Betrag einer komplexen Zahl

Als Betrag einer komplexen Zahl wird der Abstand der Zahl z = a + b \cdot i vom Ursprung bezeichnet. Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

\boxed{\mathbf{\vert z \vert = \sqrt{a^2 + b^2}}}

Rechnen mit komplexen Zahlen

Addition/Subtraktion komplexer Zahlen

Für zwei komplexe Zahlen z_1 = a + b \cdot i und z_2 = c+ d \cdot i mit a, b, c, d \in \mathbb{R} gilt:

\boxed{\begin{array}{lcl} \left( a + b \cdot i \right) + \left( c + d \cdot i \right) & = & \left( a + c \right) + \left( b + d \right) \cdot i  \\ \left( a + b \cdot i \right) - \left( c + d \cdot i \right) & = & \left( a - c \right) + \left( b - d \right) \cdot i \end{array}}

Bei der Addition/Subtraktion komplexer Zahlen werden jeweils die Realteile und die Imaginärteile addiert/subtrahiert.

Multiplikation komplexer Zahlen

Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z_1 = a + b \cdot i und z_2 = c+ d \cdot i mit a, b, c, d \in \mathbb{R} werden die Rechenregeln für die Multiplikation von Binomen angewendet:

\begin{array}{lclc}\mathbf{\left( a + b \cdot i\right) \cdot \left( c + d \cdot i\right)} & = & a \cdot c~+~a \cdot d \cdot i~+~b \cdot c \cdot i~+~b \cdot d \cdot i^2& = \\ & = & a \cdot c~+~ \left( a \cdot d +b \cdot c \right) \cdot i~+~b \cdot d \cdot i^2 & = \\ & = & \mathbf{\left( a \cdot c~-~b \cdot d \right)~+~ \left( a \cdot d +b \cdot c \right) \cdot i} & \end{array}

Multiplikation einer  komplexen Zahle mit ihrer konjugiert komplexen Zahl

Ein Sonderfall der Multiplikation zweier komplexer Zahlen ist die Multiplikation der Zahl z = a + b \cdot i mit der konjugiert komplexen Zahl \overline{z} = a - b \cdot i . Setzt man in das obige Ergebnis für c = a und d = -b ein, erhält man:

\begin{array}{lclc}\mathbf{\left( a + b \cdot i \right) \cdot \left( a - b \cdot i \right)}& = & \left( a^2 - b \cdot \left( -b \right) \right) + \underbrace{\left( a \cdot \left( -b \right)+ b \cdot a \right) }_{= 0}  \cdot i& = \\& = & \mathbf{a^2 + b^2} &  \end{array}

Das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl ergibt immer eine reelle Zahl.

Division komplexer Zahlen

Die Division zweier komplexer Zahlen z_1 = a + b \cdot i und z_2 = c + d \cdot i wird dadurch ausgeführt, dass man sie als Bruch \frac{z_1}{z_2} anschreibt und diesen Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl \overline{z_2} des Nenners erweitert.

\begin{array}{lclc}\mathbf{\frac{z_1}{z_2}}&=&\frac{a + b \cdot i}{c + d \cdot i}&= \\ &=&\frac{\left( a + b \cdot i \right) \cdot \left( c - d \cdot i\right)}{\underbrace{\left( c + d \cdot i \right) \cdot \left( c - d \cdot i \right)}_{= c^2 + d^2}}&= \\ &=&\frac{1 }{c^2 + d^2} \cdot \underbrace{\left( a + b \cdot i \right)}_{= z_1} \cdot \underbrace{\left( c - d \cdot i\right)}_{\overline{z_2}}&= \\ &=&\mathbf{\frac{1 }{c^2 + d^2} \cdot z_1 \cdot \overline{z_2}}& \end{array}

Damit wurde die Division zweier komplexer Zahlen auf die Multiplikation komplexer Zahlen zurückgeführt.

Polardarstellung komplexer Zahlen

In der kartesischen Form wird die Position einer komplexen Zahl z = a + b \cdot i in der Gaußschen Zahlenebene durch die Parameter a und b angegeben. Der Parameter a gibt an, wie weit man in Richung der ersten Achse gehen muss, um vom Ursprung zum Punkt P zu gelangen. Entsprechend gibt der Parameter b an, wie weit man in Richung der zweiten Achse gehen muss. Diese Darstellung eines einer kompülexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene bezeichnet man als kartesische Form.

Eine alternative Form der Positionsangabe einer kompleen Zahl ist die Darstellung mittels Polarkoordinaten. In dieser Form wird die Postition der komplexen Zahl z durch den Abstand r vom Ursprung und durch den Winkel \varphi, den der Vektor mit der positiven ersten Achse einschließt, angegeben.

Die kartesichen Koordinaten a und b bilden zusammen mit dem Vektor z ein rechtwinkeliges Dreieck.

Für die Umrechnung kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten, müssen der Abstand r und der Winkel \varphi berechnet werden:

\boxed{\mathbf{\begin{array}{lcl}r &=& \sqrt{a^2 + b^2} \\ \varphi &=& tan^{-1} \left( \frac{b}{a}\right)\end{array}}}

Damit lautet die Darstellung einer komplexen Zahl mittels Polarkoordinaten:

\boxed{\mathbf{z} = r \cdot cos \left( \varphi \right) + r \cdot sin \left( \varphi \right) \cdot i = \mathbf{r \cdot \left( cos \left( \varphi \right) + sin \left( \varphi \right) \cdot i\right)}}

 

Für die Umrechnung polarer Koordinaten in kartesische Koordinaten gilt:

\boxed{\mathbf{\begin{array}{lcl}a &=& r \cdot cos \left( \varphi \right) \\ b &=& r \cdot sin \left( \varphi \right)\end{array}}}

Rechnen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung

In Polardarstellung können komplexe Zahlenweder weder addiert noch subtrahiert werden. Auf komplexe Zahlen können in Polardarstellung nur höhere Rechenarten (Multiplikation, Division, Potenzieren und Wurzelziehen) angewendet werden.

Multiplikation und Division

Für zwei komplexe Zahlen z_1 = r_1 \cdot \left( cos (\varphi_1) + i \cdot sin (\varphi_1) \right) und z_2 = r_2 \cdot \left( cos (\varphi_2) + i \cdot sin (\varphi_2) \right) gelten für die Addition und die Subtraktion die folgenden Regeln:

\boxed{\begin{array}{lcl}z_1 &=& r_1 \cdot \left( cos (\varphi_1) + i \cdot sin (\varphi_1) \right) \\ z_2 &=& r_2 \cdot \left( cos (\varphi_2) + i \cdot sin (\varphi_2) \right) \\ \\ \mathbf{z_1 \cdot z_2 } &=& \mathbf{r_1 \cdot r_2 \cdot \left( cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i \cdot sin (\varphi_1 + \varphi_2) \right)} \\ \\ \mathbf{\frac{z_1}{z_2 }} &=& \mathbf{\frac{r_1}{r_2} \cdot \left( cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i \cdot sin (\varphi_1 - \varphi_2) \right)}\end{array}}

 

Merke:

• Bei der Multiplikation werden die Beträge (Abstände r) multipliziert und die Argumente \varphi addiert.
• Bei der Division werden die Beträge (Abstände r) dividiert und die Argumente \varphi subtrahiert.

Potenzieren

Das Potenzieren einer komplexen Zahl kann auf die wiederholte Ausführung einer Multiplikation mit sich selbst zurückgeführt werden:

\boxed{\begin{array}{lclc}\mathbf{z^{n}}&=&\underbrace{z \cdot z \cdot \ldots \cdot z}_{n-mal}&= \\  &=&\underbrace{r \cdot \left( cos (\varphi) + i \cdot sin (\varphi ) \right) \cdot \ldots \cdot r \cdot \left( cos (\varphi) + i \cdot sin (\varphi ) \right)}_{n-mal}&= \\ &=& \mathbf{r^n \cdot \left( cos (n \cdot \varphi ) + i \cdot sin( n \cdot \varphi ) \right)} & \end{array}}

 

Merke:

Beim Potenzieren eine komplexen Zahl wird der Betrag r potenziert, während das Argument \varphi mit dem Exponenten n multipliziert wird.

Wurzelziehen

Eine komplexe Zahl x wird als n-te Wurzel \left( n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \right) der komplexen Zahl z bezeichnet, wenn x^{n} = z gilt. Man schreibt: x = \sqrt[n]{z}

Prinzipiell wird die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl gezogen, indem man die n-te Wurzel aus dem Betrag zieht. Das Argument wird prinzipiell durch n dividiert. Dabei muss man aber berücksichtigen, dass die Darstellung einer komplexen Zahl in Polarkoordinaten nicht eindeutig ist. Es gilt:

z = r \cdot \left( cos ( \varphi ) + i \cdot sin ( \varphi )  \right) = r \cdot \left( cos ( \varphi + 360° \cdot k ) + i \cdot sin ( \varphi + 360° \cdot k )  \right)

mit k \in \mathbb{Z}_{0}^{+}.

Für die n-te Wurzel erhält man damit:

\boxed{\mathbf{\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot \left( cos \left(\frac{\varphi + 360° \cdot k}{n} \right) + i \cdot sin \left(\frac{\varphi + 360° \cdot k}{n} \right) \right)}}

mit \mathbf{0 \le k \le n-1} .