Die Kreiszahl

Bei Kreisen spielt die sogenannte Kreiszahl \pi eine besondere Rolle. Bildet man das Verhältnis von Umfang U und Durchmesser d, erhält man für alle Kreise die selbe Zahl. Diese Zahl ist eine irrationale Zahl und wird als Kreiszahl \pi bezeichnet:

\frac{U}{d} = \pi

Wenn man den Wert der Kreiszahl kennt, kann der Umfang eines Kreises berechnet werden mit:

\boxed{ \mathbf{U = d \cdot \pi = 2r \cdot \pi}}

Eine ähnliche Beziehung besteht zwischen dem Flächeninhalt A und dem Radius r eines Kreises: \newline \frac{A}{r^2} = \pi

Der Flächeninhalt eines Kreises kann daher berechnet werden aus:

\boxed{ \mathbf{A = r^2 \cdot \pi}}

Bestimmung der Kreiszahl \pi

Es gibt inzwischen unzählige Methoden, wie man den Wert der Kreiszahl \pi näherungsweise berechnen kann. Eines der ältesten Verfahren stammt vom grichischen Mathematiker Archimedes.

Das Prinzip beim Verfahren von Archimedes beruht darauf, dass man einem Kreis mit dem Radius r = 1 ein gleichseitiges Sechseck einschreibt. Weil die Seitenlänge dieses Sechseck gleich dem Radius ist, gilt für den Umfang dieses Sechsecks: \newline U = 6 \cdot r = 6

Als erste Annäherung für die Kreiszahl \pi erhält man damit: \newline \pi = \frac{U}{2r} = \frac{6}{2} = 3

Im nächsten Schritt schreiben wir dem Kreis ein regelmäßiges Zwöfeck ein. Damit erhalten wir insgesamt 12 gleichschenkelige Dreiecke mit der Schenkellänge 1 und der Sehne AB = s_{2n}. Es gilt nun zu überlegen, wie man aus der Sehne AC = s_n des Sechsecks die Sehne s_{2n} des Zwölfecks berechnen kann. Dazu verwenden wir die Dreiecke \Delta MAF und \Delta ABF.

Ein Zusammenhang zwischen den beiden Sehnen s_n und s_{2n} kann über das rechtwinkelige Dreieck \Delta ABF (in nebenstehender Abbildung blau markiert) hergestellt werden. Es gilt:

\frac{s_n}{2}^2 + \overline{FB}^2 = s_{2n}^2 \newline

Durch Umformen erhält man:

\overline{FB} = \sqrt{s_{2n}^2 - \frac{s_n^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot s_{2n}^2 - s_n^2}

 

Aus dem rechtwinkeligen Dreieck \Delta MAF (in nebenstehender Abbildung braun markiert) lässt sich die Länge der Strecke \overline{MF} bestimmen:

\begin{array}{lclc}\overline{MF}^2 + \overline{AF}^2 &=& 1 & \\ \overline{MF}^2 &=& 1 - \overline{AF}^2 & = \\ &=& 1 - \left( \frac{s_n}{2} \right)^2 &= \\ &=& 1 - \frac{s_n^2}{4} & \end{array} \\ \overline{MF} = \sqrt{1 - \frac{s_n^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{4 - s_n^2}

Die beiden Strecken \overline{MF} und \overline{FB}  ergeben zusammen die Länge des Radius r = 1, d.h. es gilt:

\begin{array}{lcl} \overline{MF} + \overline{FB} &=& 1 \\ \frac{1}{2} \sqrt{4 - s_n^2} + \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot s_{2n}^2 - s_n^2 } &=& 1 \\ \sqrt{4 - s_n^2} + \sqrt{4 \cdot s_{2n}^2 - s_n^2 } &=& 2 \\ \sqrt{4 \cdot s_{2n}^2 - s_n^2 } &=& 2 - \sqrt{4 - s_n^2} \\  4 \cdot s_{2n}^2 - s_n^2  &=& 4 - 4 \cdot \sqrt{4 - s_n^2} + 4 - s_n^2 \\ 4 \cdot s_{2n}^2 - s_n^2  &=& 8 - s_n^2 - 4 \cdot \sqrt{4 - s_n^2}  \\ 4 \cdot s_{2n}^2  &=& 8  - 4 \cdot \sqrt{4 - s_n^2} \\ s_{2n}^2  &=& 2  - \sqrt{4 - s_n^2} \\ s_{2n}  &=& \sqrt{2  - \sqrt{4 - s_n^2}}\end{array}

Bezeichne n die Anzahl der Ecken eines regelmäßigen Vielecks V_nund s_{2n} die Zahl der Ecken eines regelmäßigen Vielecks V_{2n} mit doppelt soviel Ecken, dann lässt sich die Länge der Sehne s_{2n} des Vielecks V_{2n} aus der Länge der Sehne s_n des Vielecks V_n wie folgt berechnen:

\boxed{\mathbf{s_{sn} = \sqrt{2 - \sqrt{4 - s_n^2}}}}

Für den Umfang U_{2n} des Vielecks V_{2n} gilt: U_{2_n} = 2n \cdot \sqrt{2 - \sqrt{4 - s_n^2}}. Das Verhältnis aus Umfang und Durchmesser ist ein Näherungswert für die Kreiszahl \pi. Diese Näherung wird umso genauer, je größer die Zahl der Ecken ist. Weil wir den Radius des Kreises, in den die Vielecke eingeschrieben werden, mit angenommen haben, ist der Durchmesser d = 2. Für die Näherung von \pi erhalten wir:

\boxed{ \mathbf{\pi \approx  n \cdot \sqrt{2 - \sqrt{4 - s_n^2}}}} \newline

Die folgende Tabelle zeigt für die ersten neun Vielecke die Ergebnisse der Näherungen. Bereits nach der neunten Näherung wird eine Genauigkeit auf acht Kommastellen erreicht.

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Neben der Methode des Archimedes wurde im Laufe der Jahrhunderte eine Unmenge an unterschiedlichen Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl \pi entwickelt. In diesem Beitrag sei noch ein Verfahren beschrieben, das auf der Ausführung eines Zufallsexperimentes basiert.

Die Monte-Carlo Methode

Einem Quadrat mit der Seitenlänge a wird ein Viertelkreis (wie in nebenstehender Abbildung dargestellt) eingeschrieben.

Für den Flächeninhalt des Quadrates gilt:

A_Q = a^2

Der Flächeninhalt des Viertelkreises errechnet sich aus:

A_K = \frac{a^2\cdot \pi}{4}

Für das Verhältnis der beiden Flächen gilt:

\frac{A_K}{A_Q} = \frac{\frac{a^2\cdot \pi}{4}}{a^2} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \boxed {\mathbf{\pi = \frac{4 \cdot A_K}{A_Q}}}

Lässt man nun insgesamt n Sandkörner so auf das Quadrat fallen, dass sie über die gesamte Fläche gleich wahrscheinlich verteilt werden, dann muss die Zahl der Sandkörner , die innerhalb des Kreisbogens landen zur Gesamtzahl der Sandkörner im selben Verhältnis wie Flächeninhalte von Viertelkreis und Quadrat stehen, es muss also gelten:

\frac{n_K}{n} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \boxed{\mathbf{\pi \approx \frac{4 \cdot n_k}{n}}}

Durch Abzählen der Snadkörner, die bei einem Zufallsexperiment innerhalb des Viertelkreisbogens landen gelingt es also einen Näherungswert für die Kreiszahl \pi zu finden.